竹林のゆとりブログ

山奥で生活し、日々の思いをつらつらと書くブログ。 IT、数学、アニメなど。

整数論への誘い

お久しぶりです。

気が付いたら数学漬けの毎日を送っています。

そんな予定ではさらさらなかったのだけれど、気になったものは気になっている間にきちんと考えておくことが 理解という意味でも、興味という意味でいいと思うので、数学の記事の記事を書きたいと思います。

数学を書けるスペースはブログ上に用意しておきつつも、全く記事がない段階だったので、まずは紹介からします。

テーマは整数論

整数論は非常に歴史が深く、多岐にわたる分野です。

数論で有名な定理といえば、フェルマーの最終定理かと思います。 フェルマーの最終定理の正確な主張を書くと、以下になります。

{ X^n + Y^n = Z^n } {n \ge 3}の時、{(X,Y,Z)=(0,0,0)}以外、解を持たない。

この定理を最初に見たときはただ単純に計算していけばできるように感じたものです。 ただ、整数論は奥が深いもので、そう簡単には行きません。 。

これが、Kummerなどの発想により、{ \mathbb{Z}}ではなく、1のn乗根 {\zeta}を加えた世界{ \mathbb{Z} [ \zeta ]  } を整数だと思えばいいのではないかと考察されます。

この発想自体は素晴らしいものでしたが、フェルマーの最終定理を示すまでにはいきませんでした。 なぜなら、この世界では、"素因数分解の一意性"が成り立たなかったからです。

言い方を変えてしまうと、素数の性質を完全に満たすものが存在しない世界になったのです。

ただし、素数の全ての性質が失われたわけではなく、"素イデアル"を考えることで、類似の性質を満たすことがわかります。

ただし、上の世界を考えることにより、素数、素イデアルがどうふるまっているかの一般論がわかるようになりました。

そのため、上になるべくのぼって考えたいのですが、まず上にはどんな世界があるかを知らなければ行けません。

その情報を持つものがガロア群です。 ガロア群はがロア理論というよくできた理論があり、ガロア群が決定できれば、その間にどんな世界があるかがわかります。 しかし、ガロア群を一般に計算する方法は見つかっておらず、これも難しい問題となります。

しかし、整数の世界は魅力的な性質があふれているようです。

なんと整数の場合は"類体論"により、ガロア群がイデアル類群等によってわかることがわかります。

イデアル類軍は素イデアル素数がどれだけ離れているかを表す一般的な指標です。

この類体論の結果が、日本の数学の父、高木貞二の主要な結果となります。 つまる20世紀前半の結果になります。

この後も数論は非常に高度に発展していきます。 私的な分類ですが、こうした発展があると思います。

これらのように分野が多数に、かつ、密に関係しあって、進歩しています。

これらの知識を駆使して研究をしている最先端の研究者は天才としか思えない集団です。

この数学の強力、かつ、広すぎる世界を少し眺めて、紹介していきます。

まずは類体論/保型形式を紹介していきます。